El imposible cometido de afinar una trompeta

por Emilio Llorente y editado por Marta Orts.

En la Revista Española de Física, volumen 25, número 4, del 2011, Iván Martí-Vidal  del Max-Planck-Institut für Radioastronomie Bonn (Alemania), analiza el problema de afinar una trompeta. “Es como el de cuadrar el círculo, solo podemos hallar soluciones aproximadas”. Dice que si tenemos unos conocimientos básicos de acústica y teoría musical, asequibles a nivel de bachillerato, se puede plantear el problema como un reto para afianzar sus conocimientos y proponer posibles mejoras en el diseño de este tipo de instrumentos.

De entrada se plantea el problema de la escala musical. Durante mucho tiempo se utilizaron las escalas naturales en las que las proporciones entre las frecuencias (o longitudes de cuerdas y tubos) son razones naturales: 2:1 es la razón entre un do y el do superior siguiente.
El sol es al do como 3 al 2. Es decir, la frecuencia del sol es 3/2 la frecuencia del do, 4/3 para el fa. Y así sucesivamente para las diversas notas de la escala, aunque no todas las proporciones son tan sencillas.
La elección de este tipo de escalas está reforzada por la serie de armónicos que aparecen al hacer sonar una nota en un instrumento musical o con la voz humana. Un sonido periódico siempre se podrá descomponer como la suma de diversos sonidos sinusoidales de frecuencias crecientes y múltiplos de la primera o fundamental, que es la que da el tono. Si suponemos que el tono es un do de frecuencia f₀, los demás armónicos son múltiplos de este valor y corresponden a notas de la escala natural representadas en el pentagrama inferior:

 

Existen diversas variantes de este tipo de escalas, pero todas ellas tienen un problema, si comienzo una melodía por otra nota no se guardan exactamente las proporciones originales y por tanto se desafina.  Para que esto no ocurra se subdivide la escala en 12 notas, contando los sostenidos, separadas por semitonos iguales, de tal manera que la frecuencia de una nota inmediatamente superior se calcula multiplicando  la inferior por:

Si multiplicamos doce veces llegamos a:

es decir, doblamos la frecuencia, llegamos al do superior.

De esta forma, empezando por cualquier nota, se mantienen las proporciones de sus frecuencias. Aunque aparece otro problema: del do al sol hay siete semitonos, pero:

Que es un poco inferior a 1,5. Por tanto, el sol afinado en la escala temperada no es exactamente el sol natural que aparece en la serie de los armónicos; es un 0,1% inferior, tal como se comenta en el artículo que estamos comentando.

La trompeta moderna

En este apartado, el investigador describe cómo se consiguen doversas longitudes crecientes del tubo al ir apretando uno o varios de los tres pistones de la trompeta. Al sonar al aire tiene una longitud:

Cuando apretamos el primer pistón…., hay 8 posibilidades, la última es cuando apretamos los tres pistones a la vez. En este momento comenta el papel que cumplen los labios del instrumentista al hacerlos vibrar y provocar la vibración del aire del tubo. Cada nota que emite la trompeta tiene una nota fundamental y va acompañada de armónicos, ¿cuáles son éstos? Normalmente en los libros de nivel de bachillerato se estudian las ondas estacionarias en tubos abiertos (por los dos lados) y cerrados (abierto por un lado y cerrado por el otro). En los primeros aparecen todos los armónicos con frecuencias múltiplo de la fundamental, tal como hemos comentado en el pentagrama anterior.

Siendo n el armónico, v la velocidad del sonido y L la longitud del tubo.
En cambio, en los tubos cerrados solo aparecen los armónicos impares de una frecuencia fundamental que es la mitad de la fundamental  del tubo abierto.
Tomando n los valores 1, 2, 3...

 

Pero estas fórmulas sirven para los tubos cilíndricos; la trompeta no lo es. Tiene tres partes diferenciadas:la boquilla, el tubo y la campana.
Aquí el autor indica que el estudio del espectro de frecuencias es un “problema de gran dificultad que escapa a los objetivos de este artículo”, “ya que es necesario resolver numéricamente la ecuación de ondas “. Ofrece los resultados de Hall 1980. En principio, un tubo cerrado como es la trompeta por el lado de la boquilla, debería emitir sólo los armónicos impares, pero debido a la forma aproximadamente cónica de parte de la trompeta, también se emiten los armónicos pares, y aún de forma más acusada en otros instrumentos con la forma cónica más clara como la tuba. Es decir un tubo cónico emite todos los armónicos.
Sobre este aspecto las referencias de Internet que he encontrado en español hacen referencia a una página de una universidad australiana (en inglés) que desarrolla de una forma muy completa y compleja toda la acústica de los diversos tubos…

• http://www.phys.unsw.edu.au/jw/pipes.html
• http://www.phys.unsw.edu.au/jw/brassacoustics.html
• href="http://www.phys.unsw.edu.au/jw/musFAQ.html#truncate

Los gráficos muestran los patrones de onda estacionaria en tres columnas de aire: un cilindro abierto (flauta), un cilindro cerrado (clarinete) y un cono (oboe). Las líneas rojas representan la presión del sonido y las azules el desplazamiento del aire. En todos los diagramas la longitud de onda es la misma, aunque en el tubo cónico la forma diste mucho de la obtenida para el resto. Vemos que para producir la misma nota el clarinete (tubo cilíndrico cerrado) necesita la mitad de longitud. En cambio el oboe (tubo cónico), emite los mismos  armónicos que el tubo abierto para igual longitud. Se han representado los cuatro primeros armónicos.
También, se plantean posibles interrogantes,¿cómo influye el ángulo de apertura del cono en el refuerzo de unos u otros armónicos?, cuestión que es importante para entender el sonido de los didjeridus. En realidad cada instrumento es un campo entero de investigación.

Diseñando una trompeta

Volviendo al hilo del artículo, en el apartado siguiente ("Diseñando una trompeta") explica cómo con solo tres pistones se pueden generar las dos octavas y media. De entrada, cuando el instrumentista sopla sin apretar ningún pistón, provoca el sonido del segundo armónico de la cavidad, se dice que “sobresopla” a la octava.  Por tanto, si está afinada en do₄, los demás armónicos que le acompañan serían el sol₄, do₅, mi₅...
que el instrumentista puede hacer sonar en primer lugar cambiando la tensión de los labios y su vibración.

Ocurre lo mismo cuando se oprimen cualquiera de los pistones, sobresoplan a la octava. El pistón 2, alarga el tubo en  l₂, y hace bajar la afinación en un semitono (1ST), el pistón 1 baja en 2ST, el 3 en 3ST, 1 y 2 en 3ST, 2 y 3 en 4ST, 1 y 3 en 5ST y los tres en 6ST. En los pentagramas siguientes está representado de otra forma lo anterior.

Si la trompeta tiene una longitud de 1,16m, la frecuencia del primer armónico, usando la misma expresión que para un tubo abierto, sería:

Y el segundo armónico, que es el que suena, tendría el doble de frecuencia 295,69 Hz, pero ésta no es la frecuencia del do₄, que vale 261,63Hz. La longitud efectiva que generase esa frecuencia sería, utilizando la misma fórmula, de 1,31m, estos 15cm mayor seguramente se consiguen debido al efecto de la campana y su diámetro final.
Ahora es cuando el autor plantea el problema de afinar una trompeta, es decir calcular los valores que deberían tener las longitudes de los pistones l₁, l₂ y l₃ para producir las diversas caídas de semitonos comentados más arriba. Planteado en forma de ecuaciones sería:

Para el primer pistón, como la frecuencia baja en dos ST, la longitud habrá de aumentar en este factor:

Aislando l₁, queda el valor de l₁=0,12246l_o

Para el segundo pistón, que baja 1ST:

Cuando utilizamos solo el tercer pistón:

Y da   l₃=0,189l_o

Cuando se utilizan simultáneamente el 2 y el 3:

Y utilizando el valor calculado de l₂ sale un valor del₃=0,200l_o

Si utilizamos l₁ y l₃ simultáneamente:

Da l₃=0,212l_o

Como se observa salen valores diferentes según se hagan las diversas combinaciones. Eso es debido a que si pulsamos el pistón 1 y bajamos un tono (2ST), al pulsar también el pistón 2 no bajaremos medio tono más ya que la longitud del pistón 2 debería ser 0,059 veces ( l_o+l₁ ) y no 0,059 l_o como hemos calculado. Es decir al combinar los pistones se complica la situación pues las longitudes están calculadas para su efecto individual. El más problemático es el 3r pistón pues produce más diferencias.

¿Cómo solucionar este problema de afinación?
Se proponen soluciones aproximadas, como dar a l₃ un valor intermedio, o bien incorporando un dispositivo que cambie su longitud según la nota que se esté tocando. Si es un buen intérprete puede cambiar la entonación forzando la vibración de los labios para que no desentone al tocar en orquesta.
Para finalizar el artículo, habla de la redundancia de los pistones y comenta algunos posibles rediseños de la trompeta. Además plantea algunas cuestiones adicionales como ¿en qué afecta el cambio de temperatura y/o la presión en el afinado?
En resumen, el estudio que hace el autor de la afinación de la trompeta pone en cuestión algunos de los conocimientos básicos de acústica y nos fuerza a comprender la riqueza  y complejidad de la realidad. Seguro que este análisis se puede realizar en otros instrumentos musicales.